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Le principe des clés publiques

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La réponse à ce problème est venue d’une réflexion sur le principe même de clé. Depuis la naissance de la cryptographie, on disait qu’il fallait la même clé pour crypter et pour décrypter un message. Etait-ce vraiment le cas ? En fait, le moyen le plus simple serait d’avoir une clé de chiffrement, que tout le monde connaîtrait (la clé publique), et une clé de déchiffrement, que seule Alice posséderait (la clé privée). N’importe qui pourrait crypter un message pour Alice, mais elle seule serait capable de le comprendre... Imaginons en effet qu’Alice possède un cadenas avec la clé correspondante. Elle fabrique alors plusieurs copies du cadenas et les envoie à Bob. Dès que Bob voudra lui envoyer un message, il lui suffira de mettre le texte dans une boîte, de la fermer avec l’un des cadenas d’Alice et de lui envoyer le tout.

Ce qui est intéressant dans cette analogie, c’est l’idée de cadenas : quelque chose de facile à fermer (n’importe qui peut appuyer dessus) mais de très difficile à ouvrir (il faut la clé qui correspond).

Maintenant, comment appliquer cette idée d’un point de vue mathématique ? Ce qu’il faut, c’est ce qu’on appelle une “fonction à sens unique”. Une fonction, c’est une opération mathématique qui permet de transformer un chiffre en un autre. “Diviser par deux”, par exemple, est une fonction. Mais une “fonction à sens unique”, c’est une opération qui transforme un chiffre x en un chiffre y de telle sorte qu’il est quasiment impossible de déduire x si l’on connaît y. “Diviser par deux” n’est pas une fonction à sens unique, car si y=4, on en déduit facilement que x=8.

C’est après une soirée arrosée chez l’un de ses étudiants que Ronald Rivest, un mathématicien américain qui travaillait sur ce problème, trouva une telle fonction, dont l’élément principal se basait sur l’utilisation des nombres premiers.

Pour utiliser la fonction de Rivest (baptisée RSA, du nom de ses 3 découvreurs, Rivest, Shamir et Adleman), Alice doit choisir deux nombres premiers, que nous appellerons p et q. La multiplication de ces deux nombres premiers donne un autre nombre, que l’on appellera N.

Si Alice choisit p = 661 et q = 997, alors, nous aurons N = 661 x 997 = 659 017.

Dans le système RSA, ce nombre N (659 017) est alors la clé publique d’Alice. Alice peut afficher ce chiffre où elle le veut : n’importe qui peut accéder à cette information. C’est grâce à ce chiffre que Bob (ou n’importe qui d’autre) pourra crypter un message à son attention.

Les chiffres p et q, quant à eux, sont considérés comme la clé privée d’Alice. Elle ne doit jamais les communiquer à personne car c’est cette clé qui lui permettra de décrypter tous les messages qui lui seront envoyés. Imaginons qu’Alice publie sur son blog sa clé publique avec un message “si vous avez un message secret à m’envoyer, cryptez-le avec ma clé publique !”. Eve, qui est toujours en train d’espionner tout le monde, a donc accès à la clé publique d’Alice, N. A partir de N, elle peut donc théoriquement calculer p et q (rappelons que N = p x q).

Pour cela, elle doit diviser N par chaque nombre premier, et dès qu’elle trouvera un reste nul, elle pourra décrypter le message de Bob. Eve commence donc à diviser : 650 017 ÷ 3 : non, la division donne un reste. 659 017 ÷ 7 : ça ne marche pas non plus... Au bout d’une heure, elle arrive à 659 017 ÷ 661, et enfin elle trouve un reste nul. Elle a trouvé la clé !

Seulement, ce cas n’arrivera jamais, car pour utiliser RSA, Alice ne doit pas utiliser des nombres aussi petits.

En 1995, on a calculé qu’il faudrait 150 ans pour casser une clé à 130 chiffres. Sachant qu’on utilise aujourd’hui des clés avec plus de 300 chiffres (donc plusieurs milliards de fois supérieures, rien à voir avec 659 017), rien ne peut mettre en péril le chiffre RSA, pas même le développement très rapide de l’informatique. Seule une véritable révolution mathématique ou informatique serait capable d’en venir à bout.

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